陈 杨，张建刚
(兰州交通大学数理学院，兰州 730070)
随机共振最初是由Benzi等人[1]提出用于解释地球古代气候的大振幅周期性变化现象.此后随机共振及其相关问题引发了各界研究者的关注.随机共振是由噪声、弱周期信号和非线性环境相互作用引起的现象.然而噪声并不总是破坏性的，相反，噪声和非线性系统的作用有时也会产生建设性的结果.例如，随机共振就是由噪声诱导的弱信号放大产生的，它将部分噪声能量转化为信号能量，达到增强系统输出响应的目的，从而提高了信噪比.通过随机共振处理，微弱信号的幅值、能量等被提高，更便于故障的检测.并且随机共振方法不需要进行滤除噪声的操作，有用信号也不会被削弱，具有很高的理论和实际研究价值.噪声诱导的随机共振已经被广泛运用于生物[2-5]、物理[6-9]、化学[10-12]、量子力学[13-15]和激光[16-18]等领域.
Fauve和Heslot[19]首次通过观察Schmidt触发电路系统的双稳态输出特性，证实了随机共振现象的存在.随后，人们对随机非线性动力学行为进行了广泛研究，主要集中于对称双稳系统性质的研究.然而大多数非线性系统中势函数的对称性无法保证，因此，研究非对称势阱的随机动力学特性至关重要.目前，在噪声驱动下的非对称双稳系统的研究收获颇丰.例如，Yang等[20]研究了复杂噪声环境下的时滞非对称系统，发现在加性和乘性α稳定噪声共同激励或单独加性α稳定噪声激励下，调节参数均可诱导随机共振现象.Zhou等[21]研究了周期混合信号和噪声联合激励下的非对称双稳系统，发现对于基频和高阶谐频情形下均出现随机共振，并且高阶谐频存在抑制现象.
运用随机共振原理进行实际应用是近10年来的研究热点，而过去大部分工作是高斯白噪声激励下经典双稳系统的理论研究，及其各方面的应用.本文主要研究了高斯色噪声激励下非对称双稳系统的动力学复杂性，研究结果表明，在非对称双稳系统相较于对称双稳系统更有利实现对随机共振的控制，其应用于轴承故障诊断方面的性能相较于对称双稳系统更为可观.本文结构安排如下：第2节描述了高斯色噪声激励下的非对称双稳系统，计算出了平均首次通过时间和信噪比的表达式，第3节分析了各个参数，如噪声强度、非对称系数、信号的幅值和频率等分别对信噪比的影响，以及非对称双稳系统的两个不同方向的平均首次通过时间与噪声强度、非对称系数、噪声关联时间之间关系，第4节对信噪比参数运用自适应粒子群优化算法(APSO)进行了优化，运用仿真信号进行模拟分析，并采用了实际轴承数据进行了实验验证，第5节对本文作出总结.
考虑一个高斯色噪声和弱周期信号共同激励下的非对称双稳系统，其模型可由郎之万方程表示为：
(1)
(2)
图1给出了势函数U(x)随着不同非对称系数r的关系曲线.从图1可以看出，当r=0时，势函数是对称的，即为双稳的；
当r>0时，随着r的增大，系统势函数的不对称性愈发明显，左势阱的势垒增大，且势阱变得更深，右势阱的势垒减小，且势阱变得更浅.
图1 势函数U(x)随r的关系曲线
接下来，我们介绍信噪比和平均首次通过时间的求解过程，以及各个参数的变化对它们的影响.由于高斯色噪声是非马尔可夫过程，所以无法直接获得系统相应的解析解，因此运用统一色噪近似理论来推导FPK方程.首先，我们运用统一色噪近似理论将原系统化为：
(3)
其中，m(x)=x-x3-r+AcosΩt；
c(τ,x)=1-τ(1-3x2)；
τ为噪声相关时间；
n(t)为高斯白噪声.n(t)的统计性质表示为：
〈n(t)〉=0
〈n(t)n(t′)〉=2δ(t-t′)
从而得到Fokker-Planck方程：
(4)
求解Fokker-Planck方程，可以得到稳态概率密度函数表达式：
(5)
(6)
利用平均首次通过时间(MFPT)的定义和最速下降法[22]，可以得到非对称双稳系统的两个不同方向的平均首次通过时间的表达式.
(7)
其中xs表示x1或x2，从而可以得到粒子分别从x1和x2所在势阱逃逸的速率W±的表达式.
(8)
根据两态模型理论[23]，可以得到信噪比(SNR)的表达式.
(9)
其中,
l=AcosΩt，
(τ-1)(xun-x1)]
(10)
3.1 信噪比
根据信噪比表达式，我们考察信噪比随着噪声强度Q和非对称系数r变化的三维图，固定参数A=0.5，Ω=0.5，τ=0.2, 结果如图2所示.从图2可以看出，随着噪声强度Q和非对称系数r的增大，信噪比先逐渐增大到最大值，然后逐渐减小，呈现出非单调结构.这是随机共振现象的识别特征，代表系统能够随着Q和r的变化引发随机共振现象.
(a)
根据信噪比的表达式，我们分别讨论了信噪比作为噪声强度和非对称系数的函数关于噪声关联时间、信号幅值以及信号频率的影响.图3a给出了信噪比作为噪声强度Q的函数随着不同噪声关联时间τ的变化曲线.从图3a可以看到传统的随机共振现象，峰值随着τ的增大而减小，但峰值的水平方向的位置没有明显变化.图3b给出了信噪比作为非对称系数r的函数随着噪声关联时间τ的变化曲线，信噪比同样随着τ的增大而减小.由此可知，较大的噪声关联时间会抑制系统随机共振现象的发生.此外，除了噪声强度对系统的影响，系统对非对称因素的改变也十分敏感.
(a)
图4a给出了信噪比作为噪声强度Q的函数随着信号频率Ω的变化曲线.随着Ω的增加，峰值也在逐渐增大，峰值的位置略微向右偏移.图4b给出了信噪比作为不对称系数r的函数随着信号频率Ω的变化曲线，呈现出类似现象，也再次说明信号频率的增加可以促进随机共振的发生.
(a)
图5a给出了信噪比作为噪声强度Q的函数随着信号幅值A的变化曲线.随着A的增大，峰值逐渐增大，峰值位置没有明显偏移.图5b给出了信噪比作为不对称系数r的函数随着信号的幅值A的变化曲线.图5b呈现出随机共振现象.随着A的增大，峰值逐渐增大，峰值的位置也没有明显偏移.因此，较大的信号幅值，有利于随机共振现象的发生.
(a)
3.2 平均首次通过时间
MFPT是描述随机系统暂态特性的一个重要特征参数，代表粒子在噪声驱动下首次从一个势阱跃迁到另一个势阱的平均时间.根据MFPT的表达式，分别讨论非对称双稳系统的两个不同方向(左阱到右阱和右阱到左阱)的MFPT与噪声强度、非对称系数、噪声关联时间之间关系.当r=0时，原方程退化为对称双稳模型，MFPT与初始状态无关，从而MFPT(x1→x2)的曲线与MFPT(x2→x1)的曲线是一致的，当r≠0时，两个不同方向的MFPT曲线趋势是相反的，具体说明如下：
(11)
图6给出了MFPT随着噪声强度Q和非对称系数r在不同方向上变化的三维图.由图6a可见MFPT(x1→x2)随着Q和r都呈现的大致趋势为单调递增，这意味着噪声强度和非对称系数的增大都不利于粒子在势阱间的跃迁.图6b则与MFPT(x1→x2)情况恰好相反，呈现了单调递减的趋势，因此当方向相反时，对MFPT的影响也相反，即噪声强度和不对称系数的增大有利于系统在两个稳态之间相互跃迁.
(a)
图7给出了MFPT(x1→x2)作为噪声强度Q和非对称系数r的函数随着噪声关联时间τ的变化曲线.各曲线均呈现出单调递增的趋势，且随着τ的增大，其陡峭程度也逐渐上升.这说明关联时间τ对MFPT的影响较为显著，关联时间τ的增大，使得粒子从单个势阱发生跃迁所需时间增加.
(a)
图8给出了MFPT(x2→x1)作为噪声强度Q和非对称系数r的函数随着噪声关联时间τ的变化曲线，在τ的取值较小时，曲线均呈现单调递减的趋势，说明随着噪声能量的增加，跃迁的概率增加，粒子首次跃迁所用时间变短.
(a)
4.1 自适应粒子群算法优化参数
在进行仿真模拟前，我们先将系统参数进行优化，以便达到更优的输出结果，并将非对称双稳系统与经典双稳系统比较优劣.基于随机共振对系统参数的敏感性，适当地调整参数可以使系统达到最优水平.我们利用自适应粒子群算法(APSO)[24]对系统参数进行调整，模拟了信号最优输出结果.APSO是粒子群的改进算法，它能够自适应地更新权值，保证了粒子有更快的收敛速度和全局搜索能力.
算法设计：在目标搜索空间中，有若干个粒子组成的一个群体，每个粒子都是一个潜在的解，代入目标函数之后算出其适应值，再根据适应值的大小判断解的优劣.粒子需要经过多次迭代获得最优解，每经过一次迭代都会更新一次位置.将适应度最好的粒子位置作为当前粒子群的最优位置，再对粒子的步长和位置进行调整，计算粒子更新后的适应度，将每个粒子的适应度与全体粒子所经历的最好位置比较，直到达到最优解.
APSO流程如下：
(1)初始化粒子的步长和位置，将每个粒子当前位置暂设为各自的最优位置P_best.
(2)计算每个函数的适应度，存储它们的最佳位置和适应度，并选择适应度最好的粒子位置作为当前最优秀位置Q_best，然后调整粒子的步长和位置.
(3)计算粒子更新后的适应度，再把其适应度与之前所经历的P_best对应的适应度对比，取最优作为当前P_best.
(4)将每个粒子的适应度与全体粒子的Q_best对比，取最优作为当前Q_best.
(5)如果达到最大迭代次数或最优适应度，则停止迭代，并输出最优解；
如果未达到以上终止条件，则返回步骤2.
图9 自适应粒子群算法流程图
表1 APSO算法优化结果
4.2 仿真分析
在实际的机械轴承故障诊断中，由于轴承球体滚过故障具有周期性，我们选择单边衰减脉冲函数[25]作为仿真信号进行模拟分析，即
S(t)=exp{-d[t-n(t)Td]2}·Asin(2πft)
(12)
(13)
其中Ad和∑iAi-Ad分别表示驱动频率和噪声总功率.
运用参数优化后的系统对仿真信号进行故障检测，图10a展示了仿真信号对应的功率谱密度，其中，采样频率为10 KHz，样本大小为2000.从时域上看，周期脉冲淹没在噪声中；
从功率谱中看，几乎所有振荡都被载波频率处的振荡遮蔽.因此，从仿真信号中直接诊断故障十分困难.图10b通过Hilbert变换[26]，将包络信号中的特征频率进行了解调，但干扰成分依旧存在.图10c为CBSR方法的输出信号，相较于图10b信号得到明显改善，但依旧存在部分干扰频率.图10d展示了ABSR方法的输出信号，从时域图中可以看出具有清晰的信号周期，从功率谱图中也可以观察到几乎无干扰成分的特征频率，这说明ABSR方法从仿真信号中提取故障频率的有效性.
(a)CBSR
为了测试ABSR方法的性能，本节对一组缺陷轴承数据进行测试.轴承数据来自凯斯西储大学(CWRU)数据中心[27]的实验装置(图11).本实验使用的轴承为6205-2RS SKF，其详细几何形状见图12.在轴外滚道引入单点故障，图13为外滚道缺陷信号的分析.原始信号及其功率谱如图13a所示，从波形中无法找到故障脉冲.经过包络提取后，分析结果如图13b所示，从功率谱中可以看出球经过外滚道缺陷的频率，由于旋转频率的调制作用，影响了故障特征频率的解调和准确判断.分别采用CBSR方法和ABSR方法对该信号分析，结果如图13c和图13d所示，波形排列都更加整齐，故障脉冲也都可以被清晰识别，而ABSR方法得到的特征频率更高，因此诊断性能更好.
(a)
图12 CWRU实验台
图13 轴承截面图
(a)
本文研究了高斯色噪声激励下的非对称双稳系统的随机共振.首先，我们通过对信噪比曲线的分析发现，随着噪声强度和非对称系数的变化，系统会出现随机共振现象.其次，我们分别研究了噪声关联时间、信号的频率、信号的幅值对信噪比的影响，发现信噪比关于噪声强度与非对称系数随各个参数变化的趋势类似.即：适当地降低噪声关联时间有利于随机共振现象的发生，与之相反，适当地提高信号的频率和幅值也有利于随机共振现象的发生.然后，我们分别探讨了非对称双稳系统的两个不同方向的MFPT与其他参数之间的关系，发现随着信号关联时间的增加，MFPT(x1→x2)也随之增加，但MFPT(x2→x1)随之减小.所以在MFPT(x2→x1)方向上增加信号关联时间τ有利于实现粒子在两者之间的过渡，提高了粒子在两种状态之间的跃迁速率.此外，我们观察到在非对称双稳系统中，噪声强度、非对称系数和噪声关联时间对不同方向上的平均首次通过时间的作用是相反的.最后，我们将单边衰减脉冲函数作为仿真信号，说明了ABSR方法从仿真信号中提取故障频率的有效性，并采用CWRU轴承数据进行了验证.鉴于非对称性的重要性，我们扩展了对非对称性双稳模型的研究，希望能在一定程度上推动今后的研究和应用的发展.
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