吴 鸣，熊 焱，施宏远
（1.辽宁科技大学 理学院，辽宁 鞍山 114051；
2.营口理工学院 经济管理学院，辽宁 营口 115014）
海运业的快速发展使集装箱运输在国家经济发展中地位越来越重要。运价是集装箱班轮船公司提供产品服务，承运单位货物的价格，在很大程度上决定轮船公司的收入和经营绩效。维持合理的运价水平，对集装箱班轮船公司乃至整个行业的健康发展至关重要［1］。舱位分配和定价问题一直是集装箱运输领域的研究热点。Yin等［2］运用期权理论，在当时的集装箱班轮行业法律制度下，采用带有美国看涨/看跌期权的动态定价模型，分析美式看涨/看跌期权服务合同中相关因素的影响机理。Bu等［3］针对海运能力期权合同决策问题，先考虑空箱再定位成本，建立承运人和货代的最优决策模型。刘聪等［4］基于航运市场明显的季节性，从航运旺季和航运淡季两类情况出发，讨论看涨/看跌期权的最优租箱策略。Gómez-Padilla等［5］提出集装箱租赁的期权合同模型，并通过与非期权合同对比证明，在需求服从正态分布且标准差较大的情况下，期权合同是更好的选择。Luo等［6］考虑集装箱运输服务链由集装箱租赁公司、承运人、货代、港口和发货人组成，从货代的角度，将一周期两梯次期权合同引入空箱订货问题。
众多学者对影响集装箱期权定价的关联问题也进行深入研究。Koichiro等［7］通过修改和推广Bessembinder and Lemmon模型，在船东、租船人和投机者非同质的运输市场中，导出均衡现货和远期价格公式。Zurheide等［8］把收益管理理论应用于班轮运输业，提出一种与时间相关的班轮运输行业细分方法。Bu等［9］通过建立数学模型，考虑空箱重新安置问题，研究货代的期权合同订货和定价策略。Kavussanos等［10］研究货运期货市场中期货价格的无偏性假设。Yin等［11］研究班轮运输业在竞争激烈的市场环境下收益管理的可变定价方法。Gu等［12］研究了国际航运市场和中国航运市场之间的关系。Wang等［13］研究考虑港口拥堵的集装箱货位分配动态定价问题。Ubaid等［14］提出一种基于运输需求和可用运力的集装箱现货运输定价模型。Schönberger［15］介绍一种基于数学建模和优化的运价计算方法，可以对不同的托运人进行差异化的费率确定，同时将承运人提供的运输能力分配给不同的托运人。Han等［16］建立班轮航运竞争模型，利用一系列相关项目的非结构化数据，通过大数据分析服务质量对集装箱班轮航运定价策略的影响。Yang等［17］研究在信息不对称的情况下，海运运输业在由低需求季和高需求季组成的单一时间段内的承运-托运人合同问题。Wang等［18］在预测某船公司集装箱装卸需求的基础上，建立动态定价模型，以实现码头利润最大化，解决市场环境变化下码头装卸费用问题。孙赫迎等［19］针对集装箱吞吐量增加造成翻箱成本增加与码头堆场拥堵问题，考虑内外堆场竞争，构建集装箱堆存定价模型。
随着国内贸易的稳步上升，集装箱物流行业运输需求快速增加，而国内集装箱贸易具有一定的垄断性，对定价策略的研究相对滞后。在契约市场中，承运人大多通过与托运人签订协议价格合约来销售一部分运力，这种定价方式虽然在稳定货源及运力方面具有一定优势，但也存在一些风险。合同签订后，一方面托运人没有调整初始订购量的权力，如果出现托运人的实际货运量远小于订舱数量的情况，就会增加运输企业的空箱率过高风险，也使托运人利益受损；
另一方面，合约期内需执行固定的协议价格，运输企业不能在市场价格波动中获利，不利于实现效用最大化。本文借鉴期权理论，充分考虑决策过程中的不确定性，为更好地适应市场的价格波动，将期权引入到协议价格合约中，形成新的混合期权契约，并利用二叉树定价模型给出最优期权订舱量和最优期权执行价格，并通过算例对比协议价格合约、期权契约和混合期权契约三种契约在不同货运量下的利润波动情况，分析混合期权契约在集装箱定价过程中对承运人和托运人利润的影响，为承托双方进行最优决策提供依据。
期权是风险管理的重要工具。海运集装箱期权是指以集装箱班轮运输服务为标的资产，承运人海运企业按确定价格向货物托运人出售一定数量集装箱运输服务协议。期权契约可以给期权舱买者提供一种未来一段时间决定是否执行运输服务的权力，能够满足承托双方对运输合同的柔性需求。
1.1 模型描述
混合期权契约是将期权契约引入原有的协议价格合约中，形成的两阶段契约模型。具体规定为，在海运服务提前期开始时刻，承运人核算集装箱成本后，为托运人提供运输的单位协议价格、单位协议订舱订金价格、单位期权订舱价格和单位期权执行价格，同时给出协议订舱量的边界执行比例和最低协议订舱量。托运人依据预估货运需要量，签订不少于最低协议订舱量的协议价格合约，并将剩余的预期需求量签订期权订舱契约。图1给出混合期权契约的执行过程。
图1 混合期权契约的执行过程Fig.1 Execution process of hybrid option contract
协议价格合约规定，当实际货运量不足订舱量的边界执行比例时，货运不执行协议价格，可以按市场现价运输，订金不返还；
当货运量大于协议订舱量时，货运执行价格为协议价格减去订金。
期权契约规定，托运人在海运服务开始时刻具有按照期权执行价格运输且实际执行的货运量不超过期权订舱量的货运权力；
同时也可以选择放弃期权，按照市场价格运输，但期权订舱费用不返还。
1.2 假设与符号说明
混合期权契约定价模型满足如下假设条件：
（1）期权为欧式期权，即海运期权只能在到期日执行。
（2）为简化模型，只考虑由一个托运人和一个承运人组成的集装箱供应链系统，且承运人与托运人是完全理性的，两者均是风险中性者。
（3）现货市场的单位运价为外生变量，仅受外部市场经济状况支配，不受班轮企业与期权客户的影响。
（4）托运人货运需求量x为外生变量，其密度函数为f(x)，分布函数为F(x)。
（5）ω1+g1＞ω2+g2，协议合约价格优于期权价格，有利于稳定批量大的客户。
表1给出模型使用的相关变量和符号说明。
表1 变量和符号说明Tab.1 Description of variables and symbols
1.3 二叉树期权定价模型
海运价格在未来现货市场有两种状态转移方式：价格上涨、价格下跌。给出对应两个状态转移概率，构成二叉树定价模型。假设t0时刻的货运价格为S0，若t1时刻的货运价格上升到u⋅S0，则对应状态转移概率为上涨概率pu；
若t1时刻的货运价格下降到d⋅S0，则对应状态转移概率为下降概率pd。
在风险中性世界中［20］，二叉树定价模型参数u和d取决于标的资产价格变动的波动率δ及时间Δt，即
标的资产未来期望值需要满足无风险利率贴现的现值等于该标的资产目前的价格，因此，状态转移概率求解方程为
得
其中Su=u⋅S0，Sd=d⋅S0。
1.4 最优定价策略
根据混合期权契约规定，托运人和承运人的利润是否执行期权，分两种情况。
情况1：在t1时刻，若现货市场价格高于期权执行价格，即ω＞ω1，托运人选择执行期权，具体期权执行量会依照实际需求货运量x和协议价格合约订购量H2而定。
托运人的利润函数为
承运人的利润函数为
根据假设条件，得到两者的期望利润函数值
情况2：在t1时刻，若现货市场的价格低于期权执行价格，即ω≤ω1，托运人仅执行协议合约阶段订舱量，而放弃使用期权。实际需求货运量x超出协议合约订舱量部分直接从现货市场购买。
点击Data Driven Pages(数据驱动页面)(图10)里的第一个工具Data Driven Pages Setup(数据驱动页面设置)，弹出Set Up Data Driven Pages(设置数据驱动页面)窗口，勾选Enable Data Driven Pages(启动数据驱动页面)，然后在Layers(图层)下拉列表里选择渔网图层。点击确定后，渔网会自动跳到第一个网格。
托运人的利润函数为
承运人的利润函数为
根据假设条件，得到两者的期望利润函数值为
特别指出，当协议订舱量H2=0时，H=H1，此时的混合契约模型为单一的期权契约模型；
而当期权订舱量H1=0时，H=H2，此时的混合契约模型为协议价格合约。
结合上述两种情况，依据二叉树定价模型，期权合约下托运人和承运人期望利润值分别表示为
对式（13）和式（14）分别求H1和ω1的一阶导数得
由式（15）和式（16）可以看出，托运人和承运人在相同的最优期权订舱量和期权执行价格下获得最大期望利润。这说明两者的利益需求是一致的。
通过式（15）求得最优期权执行价格ω1*为
1.5 隐性利润
为进一步分析合约的利益分配关系，引入隐性利润的概念。
将托运人执行合约的货运利润与执行现货市场价格的货运利润之差称为托运人的隐性收益利润（简称为隐性收益利润）。隐性收益利润为负时，说明托运人执行合同收益受损；
隐性收益利润为正数时，说明托运人执行合同可以获得更多收益，且数值越大，收益越多。
将承运人执行现货市场价格的货运利润与执行合约的货运利润之差称为承运人的隐性让利利润（简称为隐性让利利润）。隐性让利利润为负时，说明承运人执行合同没有让利，且获得补偿；
隐性让利利润为正时，说明承运人执行合同提供让利，且数值越大，让利越多。
隐性利润不是实际获得的利润，但它能反映出合约执行双方的利益分配关系。托运人的隐性收益利润和承运人的隐性让利利润计算式
某船运公司在提前三个月拟定A港口海运到B港口的单位集装箱运输，承运人与托运人按照混合期权契约方式签订货运合同。假设托运人的实际货运量x为［50，400］TEU（20英尺集装箱）的均匀分布，其分布函数为
现货市场价格为ω=0.5万元/TEU。托运人货物的毛利润p=0.8万元/TEU，承运人的集装箱运输成本b=0.15万元/TEU，集装箱最大订货量G=500 TEU。单位集装箱运输期权订舱价格g1=0.02万元/TEU，协议价格ω2=0.4万元/TEU，协议价格执行订舱量的边界约束执行比例m%=60%，单位集装箱订舱金价格g2=0.06万元/TEU。价格波动率δ=5%，无风险利率用三个月银行存款利率r=1.35%。依据二叉树期权定价模型计算得到乘数u=1.05，d=0.95，由式（4）求得状态转移概率pu=0.6，pd=0.4。若初始订舱H2=200 TEU，则由式（14）计算出最优期权执行价格0.446 5万元/TEU，此时最优期权订舱量200 TEU。
2.1 三种契约隐性利润对比分析
分别计算混合期权契约、期权契约和协议价格合约承托双方的隐性利润，分析各种合约的不同执行阶段收益分配特点。为使对比分析更加清晰，假设三种契约下的总订购量都相同，即期权契约和协议价格合约下的总订舱量均为400 TEU。
2.1.1 托运人收益分析 利用最优期权执行价格和最优期权订舱量分别计算不同实际货运量下，托运人执行混合期权契约、期权契约和协议价格合约的隐性收益利润，隐性收益利润对比曲线见图2。
图2 托运人隐性收益利润对比曲线Fig.2 Contrast curves of shipper’s implicit income profits
当货运量增加时，三种合约的隐性收益利润都增加，但变化幅度差别较大。期权契约的变动幅度最小，协议价格合约的变动幅度最大。在实际货运量与合约订舱量差距较大时，隐性收益利润均为负值，且协议价格合约收益损失最大，混合期权契约介于中间。随着实际货运量的逐渐增加，隐性收益利润均转为正值，混合期权契约在货运量大于120 TEU后转为正值，更早给托运人带来收益，协议价格合约在货运量在大于240 TEU后转为正值，而期权契约在货运量为250 TEU才转为正值。在120～250 TEU阶段，混合期权契约的隐性收益利润显著高于其他两种契约。在实际货运量与合约订舱量差距较小时，协议价格合约的隐性收益利润明显高于其他两种契约，给托运人带来更多的收益。
2.1.2 承运人收益分析 承运人与托运人签订契约后，货运执行固定的协议价格或期权价格。现货市场价格波动时，承运人在不同现货价格下的隐性让利利润差别很大。分别计算现货市场价格ω和超出现价10%和30%时，承运人在不同需求量x下的隐性让利利润。三种合约的隐性让利利润计算结果如图3所示。
图3 承运人在三种合约下的隐性让利利润Fig.3 Implicit conveyance profits of carriers under three contracts
隐形让利利润与隐性收益利润变化趋势基本一致。在实际货运量与订舱量差距较大时，隐性让利利润为负，说明承运人没有让利，反而获得合约订金的固定补偿；
随着实际货运量的增加，隐性让利利润转为正且数值逐渐增加，说明承运人开始出让利润，并且现价越高，承运人的隐性让利利润越大。另外，隐性让利利润由负转正的货运量拐点随着现价的升高逐渐降低，也就是说现价越高，承运人越早开始出让利润。在实际货运量与订货量差距较大时，混合期权契约比期权契约让承运人获利更多；
而当实际货运量与订货量差距较小时，混合期权契约能比协议价格合约给承运人更小的隐形让利利润，减少承运人的损失。
混合期权契约能够降低实际货运量波动带来的托运人损失，增加承运人的让利利润，能吸引托运人预订更多的舱位，增加承运人的协议订舱量和期权购买量，使承运人规避价格波动带来的空箱风险，有利于承托双方形成更加稳定的合作关系。
2.2 最优参数敏感性分析
2.2.1 最优期权执行价格的敏感性分析 最优期权执行价格的影响因素为协议价格、现价和协议订购量。对三个因素的变动率分别为-20%、-15%、-10%、-5%、5%、10%、15%、20%时进行敏感性分析，结果见图4。最优期权执行价格与协议价格、协议订购量呈现正相关，并且在协议价格变动超过10%时，会出现期权执行价格高于现价的不合理情况。最优期权执行价格与现价呈现负相关。因此，承运企业准确制定协议价格和预测托运人需求是制定合理期权价格的重要保证。
图4 最优期权执行价格的敏感性分析Fig.4 Sensitivity analysis of optimal option strike price
2.2.2 最优期权订舱量的敏感性分析 托运人的最优期权订舱量主要受协议订舱量以及需求量分布函数的影响。针对最优期权订舱量的敏感性分析结果如表2所示。最优期权订舱量与协议订舱量负相关，随着协议订舱量的增加而减少，可见需求量的预估准确性对协议订舱量与期权订舱量影响较大；
与需求量分布函数的上限正相关，随着均匀分布上限的增加而增加。
表2 最优期权订舱量的敏感性分析Tab.2 Sensitivity analysis of optimal option booking capacity
为更好地适应集装箱价格的波动，提高集装箱定价的柔性，本文将期权引入协议价格合约之中形成混合期权契约，通过与期权契约、协议价格合约的隐形利润对比分析，给出最优期权订舱量和最优期权执行价格的选取方案。
（1）对于托运人，混合期权契约可以更早地给其带来收益，增加托运人的利润水平；
也可以在托运人的订舱量与实际需求量差距较大时，降低其损失。对于承运人，混合期权契约在实际货运量与订货量差距较大时，能比期权契约让承运人获利更多；
而当实际货运量与订货量差距较小时，混合期权契约能比协议价格合约给承运人更小的隐形让利利润，减少承运人的损失。
（2）混合期权契约可以提高集装箱定价的灵活性，可以吸引托运人在自身需求量预估基础上，预定更多的舱位，帮助托运人提前锁定货源；
让承运人能够更好地进行需求预测，及时适应市场变化，有效提高承托双方的交易量，规避承运人的空箱风险，让承运人制定更优的集装箱运输策略，形成风险共担和利润共享的稳定货运关系，实现承运人和托运人的双赢，为决策者在合同签订的选择方面提供一定的依据。
本文只考虑了由单一托运人和承运人组成的集装箱供应链系统，若在不同集装箱班轮公司竞争的基础上展开研究，可以进一步与现实市场的运作机制相吻合。
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