曹洋兵，谢浩，张遂，黄真萍，邱冬冬，关慰清
(1. 福州大学紫金地质与矿业学院，福建 福州 350108；
2. 自然资源部丘陵山地地质灾害防治重点实验室(福建省地质灾害重点实验室)，福建 福州 350003；
3. 贵州省地质矿产勘查开发局一〇三地质大队，贵州 铜仁 554300；
4. 石油化工工程质量监督总站，北京 102500)
岩体结构面力学效应理论与岩体失稳灾害实例均表明，数量庞大、 规模中等的节理等随机结构面对岩体边坡或地下工程岩体稳定性具有重要影响[1-3]，是工程建设中不可回避的关键研究对象. 从随机结构面中分析场地岩体结构面发育分布特征和确定性规律，是目前合理解决岩体工程问题的主要策略. 随机结构面形状被普遍认为是薄圆盘[4-6]，在此条件下，科学合理地确定其平均直径就成为重要的研究方向.
从统计学基本理论看，随机结构面平均直径应基于研究区工程岩体所有随机结构面规模的数据进行统计、 分析和确定. 但是，获取所有结构面数据显然是不可行的，故只能采用抽样方法进行平均直径的统计、 推断. 当前，估算平均直径的方法主要是基于露头面全迹长的方法. Warburton[7]推导出露头面全迹长与直径分布的隐式函数关系式；
Priest[8]获得结构面直径服从负指数分布时露头面平均全迹长与平均直径的关系式；
伍法权[9]认为露头面与结构面交切的平均全迹长即为圆形的平均弦长，并由此获得基于露头面全迹长的平均直径估算公式；
Zhang等[10]基于圆形统计窗法，推导露头面平均全迹长计算式，并估算平均直径；
Tonon等[11]针对常见的露头面全迹长概率分布形式，推导出结构面直径分布形式和平均直径；
张国强等[12]提出无限测窗下迹长分布概率密度函数的多项式形式，并推导相应的直径分布概率密度函数的解析解；
黄磊等[13]在露头面平均全迹长估算平均直径的计算中纠正截短值造成的误差；
吴超等[14]基于DBI(Davies-Bouldin index)指标和离散系数确定节理迹长统计的下限值，实现对节理样本的优化并获取节理分布特征；
Xu等[15]提出一种新的快速模糊聚类方法，用其对结构面进行分组，提高露头面全迹长几何特征估计的合理性.
此外，Priest[16]基于数值积分法，通过反复尝试直径分布特征，在计算获取的未删截半迹长特征与实测值高度吻合时确定直径分布模型与参数，提出随机结构面平均直径的反分析方法；
Song[17]基于矩形统计窗法，将文献[16]的数值积分法改进为Monte-Carlo法，通过对比模拟值和实测值确定直径分布特征；
梅涛等[18]在节理迹长分布已知条件下，设定不同平均直径初值，通过对比平均直径计算值和初值，确定最佳直径分布和平均直径；
黄磊[19]将文献[17]的实体模拟法改进为程序计算法，即直接通过几何计算获得各种直径分布下的未删截半迹长特征，对比计算值和实测值，得到最佳直径分布；
Hekmatnejad等[20]以全迹长为校准参量，通过对比实测值和计算值，开展基于数值积分法的结构面直径无偏估计.
综上所述，关于岩体随机结构面平均直径估算的研究目前在估算方法、 理论计算和工程应用等方面均已取得重要进展，但仍存在以下两方面的问题：
1)露头面全迹长难以被全部获取，即露头面平均全迹长属于估计量而非实测量，其估算过程受随机结构面直径分布形式的约束，不易求得准确的平均直径；
2)基于实测半迹长或全迹长的平均直径反分析方法，由于关联函数的复杂性、 多极值等而存在多解性问题，同时存在直径概率密度函数确定不严格(多以拟合误差极小值作为直径概率密度函数选择依据)等问题. 基于此，本研究在半迹长测线法条件下，通过理论推导，提出一种岩体随机结构面平均直径的估算方法; 基于与测线交切半迹长实测数据，应用随机结构面三维网络模拟技术对该方法进行应用检验和相关讨论，以期为准确获取岩体随机结构面平均直径提供有价值的参考和借鉴.
利用半迹长测线法对岩体随机结构面采样后，首先需要进行分组，再分别对各组结构面的产状、 直径和体密度等进行统计分析. 因此，下述平均直径估算理论公式推导是基于某组结构面进行的. 在推导之前，首先做出如下3个假设：
1) 每个结构面是厚度可忽略的圆盘状；
2) 同组结构面的产状相同；
3) 结构面直径与产状的分布函数相互独立.
设随机结构面直径为D；
直径的概率密度函数为y(D)；
露头面全迹长为l；
露头面全迹长概率密度函数为f(l)；
概率分布函数为F(l)；
与测线交切全迹长概率密度函数为g(l)；
概率分布函数为G(l)；
与测线交切半迹长为m；
与测线交切半迹长概率密度函数为h(m)；
概率分布函数为H(m).
露头面全迹长越长，与测线交切的概率越大，则实际与测线交切全迹长落到区间[l，l+dl]内的概率与全迹长成正比，即：
G(l)=klf(l)dl
(1)
式中:k为比例系数.
与测线交切全迹长的概率密度函数为：
(2)
由密度函数性质可知：
(3)
故：
(4)
又因为：
(5)
式中:μl为露头面平均全迹长.
(6)
在全迹长为l的条件下，假设迹线与测线交点沿迹长随机分布，则与测线交切半迹长均匀分布在(0,l)范围内，其条件概率密度为：
(7)
因为与测线交切的半迹长落在[m，m+dm]的概率为h(m)dm，等于所有的测线中l>m情况下与测线交切半迹长在[m，m+dm]的概率，即：
(8)
故与测线交切半迹长概率密度函数为：
(9)
将式(6)代入式(9)，与测线交切半迹长的概率密度函数可转换为：
(10)
在获得式(10)的过程中，未对与测线交切半迹长和露头面全迹长的概率分布形式作出任何假设，故该式具有一定的普适性.
限于篇幅，在未对露头面全迹长概率分布形式作出假设时，此处可直接参考文献[7]推导的露头面全迹长概率密度函数与直径的关系式：
(11)
式中:μD为随机结构面平均直径.
将式(11)代入式(10)，可得与测线交切半迹长的概率密度函数与直径的关系式：
(12)
对上式中的双重积分交换积分次序：
(13)
将式(13)积分并化简：
(14)
以下假设直径服从负指数分布：
(15)
限于篇幅，在假设直径服从负指数分布时，此处可直接参考文献[10]推导的露头面平均全迹长与平均直径关系式：
(16)
将式(15)和式(16)代入式(14)，得：
(17)
又因为：
(18)
式中:μm为与测线交切平均半迹长.
将式(17)代入式(18)，可得：
(19)
交换积分次序得：
(20)
值得说明的是，上式中m和D分别表示同一结构面与测线交切的半迹长和直径，因此必有0≤m≤D. 而上式对变量m先积分，则对m积分的上限和下限分别取D和0时，才能体现0≤m≤D这一关系. 由此，积分可得：
(21)
故随机结构面平均直径为：
(22)
由上文可知，式(14)未对分布形式作任何假设，是与测线交切半迹长与随机结构面直径之间的普适关系式. 据此，可采用数值积分法或反分析法确定直径分布形式与平均直径. 为便于工程应用，推导出式(22). 该式为随机结构面直径服从负指数分布条件下，与测线交切平均半迹长和平均直径的关系式，是本研究所提出的平均直径的估算方法. 该方法无需对露头面平均全迹长进行估算，更加快速、 简单. 需要强调的是，式(22)的推导过程未对与测线交切半迹长分布形式作出任何假设，在实际运用时，可直接通过测线法来获取与测线交切半迹长样本，并进行数理统计与分析，得到与测线交切平均半迹长.
由于无法获得实际工程岩体所有随机结构面的直径数据，故本研究基于岩体随机结构面三维网络模拟技术，阐述所提方法的应用过程，并检验其可靠性. 采用现有成熟软件的标准均匀随机数生成方法和Monte-Carlo随机模拟法[21]获得所需的随机结构面各几何参量分布特征. 基于AutoCAD三维建模技术对随机结构面进行几何表征，实现随机结构面的三维网络模拟，具体设置情况如下：
1) 设定随机结构面生成区域大小和体密度. 为保障随机模拟的可靠性，生成区域要足够大(宽度和高度不小于平均直径的3倍，长度不小于平均直径的10倍). 在不同的平均直径条件下，通过改变体密度大小使得与测线交切的半迹长数量足够多，一般认为150条以上的随机结构面采样数能保证工程应用精度[21]. 本研究中样本数量均不低于200条，从而保证数据量充足，以尽可能减小误差.
2) 设定随机结构面产状与隙宽. 上述公式推导之前已假定每组结构面完全平行，本次网络模拟取倾向为90°、 倾角为80°、 隙宽为0.005 m. 由于假定各参量的概率分布相互独立，故这两个参数值对平均直径估算无直接影响.
3) 设定随机结构面为负指数分布，其平均直径分别设置为4、 5、 10、 15、 20、 25、 30、 35、 40、 45、 50 m，共11种工况. 此处的平均直径是真实工程岩体随机结构面的平均直径，可作为本方法的检验依据.
基于上述随机结构面三维网络模拟技术与参数设置，可生成不同平均直径下随机结构面三维网络模型，如图1(a)所示. 在生成区域中心附近，沿长度方向设置截面作为露头面，对模型剖切后可获得该露头面上所有迹线，如图1(b)所示. 在该露头面上设置测线并清除不与测线相交的结构面，可测量出所有与测线交切的结构面半迹长，如图2所示. 进行与测线交切半迹长的统计分析，如图3(以平均直径为5 m的随机结构面为例)所示，发现直径为负指数分布时，与测线交切半迹长呈现右偏分布特征. 前人研究表明[22-24]，半迹长多为负指数分布或对数正态分布，通过卡方检验对比，对数正态分布(卡方值为4.4)优于负指数分布(卡方值为8.7). 故应用对数正态分布函数进行数据拟合，可获得与测线交切半迹长的期望值，即为与测线交切平均半迹长.
图1 随机结构面三维网络模型和露头面迹线图
图2 与测线交切半迹长测量示意图
图3 与测线交切半迹长概率密度直方图和对数正态分布函数拟合图
为尽可能消除随机误差，对同一条测线分别采用与测线交切的上半迹长和下半迹长进行统计分析，并应用式(22)估算平均直径，由此可获得11种平均直径工况下的平均直径估算值(D估算). 计算各种平均直径工况下估算值相对于真实值(D真实)的相对误差，如下：
(23)
与测线交切的上半迹长得出的平均直径估算值、 相对误差分别用D估算上、δ上表示；
与测线交切的下半迹长得出的平均直径估算值、 相对误差分别用D估算下、δ下表示. 计算结果如表1所示，通过式(22)估算的岩体随机结构面平均直径与真实平均直径差距较小，估算值的相对误差为0.23%～12.13%. 此外，通过模拟和计算可以发现，相对误差随着采样数增多而减小. 由此可以推断，相对误差较大的原因在于基于半迹长测线法的随机结构面采样数较小. 根据大数定律，当样本数量足够多时，估算的平均值必然逐步收敛于真实值. 因此，在工程应用时，应当尽量多采集样本. 总体上看，上述检验条件下，0.23%～12.13%的相对误差已足以说明本方法的准确性与实用性.
表1 各种工况下平均直径真实值与估算值的对比
需要指出的是，式(22)的推导过程表明，本研究提出的平均直径估算方法在半迹长测线法条件下适用，且随机结构面直径适用于负指数分布的情况，在其余情况下的适用性还有待研究. 但是，实际观测经验与结构面分级理论[1]均已表明，结构面的规模越大，其数量越少. 现有研究[9, 21]对岩体随机结构面直径概率密度函数进行推导后，认为直径更有可能服从负指数分布，服从其它分布是由于人为舍弃或无法获取微小结构面所引起的. 因此，负指数分布极有可能是大部分工程岩体随机结构面的真实分布情况.
在半迹长测线法条件下，提出基于与测线交切半迹长的岩体随机结构面平均直径估算方法，应用随机结构面三维网络模拟技术对本方法进行应用检验和讨论，主要获得以下结论：
2) 基于岩体随机结构面三维网络模拟技术，对本方法进行检验. 结果表明，随机结构面平均直径估算值与真实值差距较小，估算值的相对误差为0.23%～12.13%，说明本方法具有较好的准确性与实用性.
3) 相较于目前的常用方法，本方法免去对露头面平均全迹长的估算步骤，直接基于实测的与测线交切半迹长进行估算，计算步骤简练且估算结果精确度较高，具有较高的应用价值.
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